UP Board कक्षा 10 गणित मॉडल पेपर 2026 (संपूर्ण 70 अंक हल सहित)

प्रश्न 1: यदि दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए HCF(a, b) × LCM(a, b) का मान क्या होगा?

सही उत्तर: C) a × b

दो संख्याओं का गुणनफल सदैव उनके HCF और LCM के गुणनफल के बराबर होता है: a × b = HCF(a, b) × LCM(a, b)।

प्रश्न 2: द्विघात समीकरण 2x² - 4x + 3 = 0 का विविक्तकर (Discriminant, D) क्या होगा?

सही उत्तर: A) -8

विविक्तकर D = b² - 4ac = (-4)² - 4(2)(3) = 16 - 24 = -8 (चूंकि D < 0, मूल अवास्तविक व काल्पनिक होंगे)।

प्रश्न 3: बिंदुओं (2, 3) और (4, 1) के बीच की दूरी क्या होगी?

सही उत्तर: B) 2√2 मात्रक

दूरी सूत्र d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] = √[(4 - 2)² + (1 - 3)²] = √[4 + 4] = √8 = 2√2 मात्रक।

प्रश्न 4: यदि sin θ = 3/5 है, तो cos θ और tan θ का मान क्रमशः होगा:

सही उत्तर: A) 4/5 और 3/4

समकोण त्रिभुज में आधार = √(5² - 3²) = 4। cos θ = आधार/कर्ण = 4/5, tan θ = लम्ब/आधार = 3/4।

प्रश्न 5: एक वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है। इस वृत्त का क्षेत्रफल क्या होगा? (π = 22/7 लें)

सही उत्तर: B) 154 वर्ग सेमी

वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = (22/7) × 7 × 7 = 154 वर्ग सेमी।

प्रश्न 6: समांतर श्रेणी (AP): 3, 8, 13, 18, ... का 10वां पद क्या होगा?

सही उत्तर: A) 48

प्रथम पद a = 3, सार्व अंतर d = 8 - 3 = 5। 10वां पद a₁₀ = a + (10 - 1)d = 3 + 9(5) = 3 + 45 = 48।

प्रश्न 7: निम्नलिखित में से कौन-सी एक अपरिमेय संख्या (Irrational Number) है?

सही उत्तर: C) π (पाई)

π एक अपरिमेय संख्या है, जबकि 22/7 एक परिमेय संख्या (p/q रूप) है। √4 = 2 और √9 = 3 भी परिमेय हैं।

प्रश्न 8: एक पासे को एक बार फेंकने पर अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता क्या होगी?

सही उत्तर: A) 1/2

एक पासे पर कुल परिणाम = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (कुल 6)। अभाज्य संख्याएँ = {2, 3, 5} (कुल 3)। प्रायिकता P = 3/6 = 1/2।

प्रश्न 9: समीकरण युग्म x + 2y = 5 और 2x + 4y = 10 के हलों की संख्या क्या होगी?

सही उत्तर: C) अपरिमित रूप से अनेक हल

a₁/a₂ = 1/2, b₁/b₂ = 2/4 = 1/2, c₁/c₂ = 5/10 = 1/2। चूंकि a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂, रेखाएं संपाती हैं और अनंत हल होंगे।

प्रश्न 10: यदि किसी त्रिभुज की भुजाएं 6 सेमी, 8 सेमी और 10 सेमी हैं, तो वह त्रिभुज कैसा होगा?

सही उत्तर: B) समकोण त्रिभुज

6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10²। यह पाइथागोरस प्रमेय (कर्ण² = लम्ब² + आधार²) को संतुष्ट करता है, अतः यह समकोण त्रिभुज है।

प्रश्न 11: द्विघात बहुपद x² - 2x - 8 के शून्यक (Roots/Zeroes) क्या होंगे?

सही उत्तर: A) (4, -2)

x² - 4x + 2x - 8 = 0 => x(x - 4) + 2(x - 4) = 0 => (x - 4)(x + 2) = 0 => x = 4, -2।

प्रश्न 12: बिंदु P(-6, 8) की मूल बिंदु (0, 0) से दूरी क्या होगी?

सही उत्तर: B) 10 मात्रक

मूल बिंदु से दूरी = √(x² + y²) = √[(-6)² + 8²] = √(36 + 64) = √100 = 10 मात्रक।

प्रश्न 13: यदि tan A = 4/3 है, तो (1 - sin² A) का मान क्या होगा?

सही उत्तर: B) 9/25

1 - sin² A = cos² A। tan A = 4/3 => कर्ण = 5, cos A = 3/5 => cos² A = (3/5)² = 9/25।

प्रश्न 14: त्रिज्या R वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल जिसका कोण θ (अंशों में) है, क्या होगा?

सही उत्तर: B) (θ/360) × πR²

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ / 360°) × πR² होता है।

प्रश्न 15: एक ठोस अर्धगोले की त्रिज्या r है। इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area) क्या होगा?

सही उत्तर: B) 3πr²

अर्धगोले का वक्र पृष्ठ 2πr² तथा आधार का क्षेत्रफल πr² होता है, अतः कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr² + πr² = 3πr²।

प्रश्न 16: केंद्रीय प्रवृत्ति के तीनों मापकों (माध्य, माध्यक, बहुलक) के बीच आनुभविक संबंध क्या है?

सही उत्तर: A) बहुलक = 3 माध्यक - 2 माध्य

मानक आनुभविक सूत्र (Empirical Relationship): बहुलक (Mode) = 3 × माध्यक (Median) - 2 × माध्य (Mean)।

प्रश्न 17: किसी घटना E के लिए P(E) + P(नहीं E) का मान सदैव क्या होता है?

सही उत्तर: B) 1

किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता P(E) तथा न घटित होने की प्रायिकता P(Ē) का योग सदैव 1 होता है।

प्रश्न 18: यदि 2cos 3θ = 1 है, तो θ का मान क्या होगा?

सही उत्तर: B) 20°

2cos 3θ = 1 => cos 3θ = 1/2 => cos 3θ = cos 60° => 3θ = 60° => θ = 20°।

प्रश्न 19: संख्या 144 के अभाज्य गुणनखंडन में 2 की घात (Exponent of 2) कितनी है?

सही उत्तर: C) 4

144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2⁴ × 3²। अतः 2 की घात 4 है।

प्रश्न 20: यदि एक वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर हैं, तो उस वृत्त की त्रिज्या क्या होगी?

सही उत्तर: A) 2 मात्रक

2πr = πr² => r² - 2r = 0 => r(r - 2) = 0 => r = 2 मात्रक।

प्रश्न 21: (अति लघु उत्तरीय - 2 अंक): सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या (Irrational Number) है।

【चरणबद्ध हल】: 1. विरोधाभास द्वारा उपपत्ति: माना √5 एक परिमेय संख्या है। अतः √5 = a/b लिखा जा सकता है, जहाँ a और b सह-अभाज्य (Co-prime) धनात्मक पूर्णांक हैं और b ≠ 0 है। 2. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: 5 = a² / b² => 5b² = a² ------ (समीकरण 1) इसका अर्थ है कि 5, a² को विभाजित करता है। प्रमेय अनुसार: यदि 5, a² को विभाजित करता है, तो 5, a को भी विभाजित करेगा। 3. अतः माना a = 5c (जहाँ c कोई पूर्णांक है)। a का मान समीकरण 1 में रखने पर: 5b² = (5c)² = 25c² => b² = 5c² इसका अर्थ है कि 5, b² को विभाजित करता है => 5, b को भी विभाजित करेगा। 4. अतः 5, a और b दोनों का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड (Common Factor) है। परंतु यह हमारी प्रारंभिक मान्यता (a और b सह-अभाज्य हैं) का खंडन (विरोधाभास) करता है। 5. निष्कर्ष: हमारी यह कल्पना गलत थी। अतः सिद्ध हुआ कि √5 एक अपरिमेय संख्या है। 【इति सिद्धम्】

प्रश्न 22: (लघु उत्तरीय - 4 अंक): दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 है।

【चरणबद्ध हल】: 1. माना पहला धनात्मक पूर्णांक = x तो अगला क्रमागत धनात्मक पूर्णांक = (x + 1) 2. प्रश्नानुसार (वर्गों का योग 365 है): x² + (x + 1)² = 365 x² + (x² + 2x + 1) = 365 2x² + 2x + 1 - 365 = 0 2x² + 2x - 364 = 0 3. 2 से भाग देने पर: x² + x - 182 = 0 4. गुणनखंड करने पर (14 × 13 = 182 और 14 - 13 = 1): x² + 14x - 13x - 182 = 0 x(x + 14) - 13(x + 14) = 0 (x - 13)(x + 14) = 0 => x = 13 अथवा x = -14 (अमान्य, क्योंकि संख्या धनात्मक पूर्णांक है) 5. अतः x = 13 तथा दूसरा पूर्णांक = 13 + 1 = 14। 【उत्तर】: अभीष्ट दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक 13 और 14 हैं।

प्रश्न 23: (लघु उत्तरीय - 4 अंक): सिद्ध कीजिए: (sin θ - 2 sin³ θ) / (2 cos³ θ - cos θ) = tan θ

【चरणबद्ध हल】: LHS = (sin θ - 2 sin³ θ) / (2 cos³ θ - cos θ) 1. अंश से sin θ तथा हर से cos θ उभयनिष्ठ (Common) लेने पर: = [sin θ (1 - 2 sin² θ)] / [cos θ (2 cos² θ - 1)] 2. हम जानते हैं कि 1 = sin² θ + cos² θ, अतः: 1 - 2 sin² θ = (sin² θ + cos² θ) - 2 sin² θ = cos² θ - sin² θ 2 cos² θ - 1 = 2 cos² θ - (sin² θ + cos² θ) = cos² θ - sin² θ 3. मान प्रतिस्थापित करने पर: = [sin θ (cos² θ - sin² θ)] / [cos θ (cos² θ - sin² θ)] 4. उभयनिष्ठ पद (cos² θ - sin² θ) कट जाता है: = sin θ / cos θ = tan θ = RHS 【इति सिद्धम् (LHS = RHS)】

प्रश्न 24: (दीर्घ उत्तरीय - 6 अंक): 60 मीटर ऊंची मीनार के शीर्ष से किसी बहुमंजिला भवन के शीर्ष और पाद के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 60° हैं। बहुमंजिला भवन की ऊंचाई तथा मीनार और भवन के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

【चरणबद्ध हल】: 1. माना AB मीनार की ऊंचाई = 60 मीटर है। माना CD बहुमंजिला भवन की ऊंचाई = h मीटर है। मीनार और भवन के बीच की क्षैतिज दूरी BD = x मीटर है। मीनार के शीर्ष A से क्षैतिज रेखा खींचने पर अवनमन कोण 30° और 60° हैं, अतः उन्नयन कोण ∠ACE = 30° तथा ∠ADB = 60° होंगे (जहाँ E, AB पर CD की सीध में बिंदु है)। AE = AB - BE = 60 - h मीटर तथा CE = BD = x मीटर। 2. समकोण त्रिभुज ABD में: tan 60° = AB / BD √3 = 60 / x => x = 60 / √3 = (60√3) / 3 = 20√3 मीटर। मीनार और भवन के बीच की दूरी = 20√3 मीटर ≈ 20 × 1.732 = 34.64 मीटर। 3. समकोण त्रिभुज ACE में: tan 30° = AE / CE 1 / √3 = (60 - h) / x 1 / √3 = (60 - h) / (20√3) 20 = 60 - h h = 60 - 20 = 40 मीटर। 【उत्तर】: बहुमंजिला भवन की ऊंचाई = 40 मीटर तथा मीनार व भवन के बीच की दूरी = 20√3 मीटर (34.64 मीटर)।

प्रश्न 25: (दीर्घ उत्तरीय - 6 अंक): निम्नलिखित बारंबारता बंटन का बहुलक (Mode) एवं माध्यक (Median) ज्ञात कीजिए: वर्ग अंतराल: 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50 बारंबारता (f): 5, 8, 15, 9, 3 (कुल N = 40)

【चरणबद्ध हल】: [1] बहुलक (Mode) की गणना: - अधिकतम बारंबारता f₁ = 15 है, जो वर्ग 20-30 में आती है। अतः बहुलक वर्ग = 20-30। - निम्न सीमा L = 20, वर्ग माप h = 10 - बहुलक वर्ग से ठीक पहले की बारंबारता f₀ = 8 - बहुलक वर्ग के ठीक बाद की बारंबारता f₂ = 9 - सूत्र: Mode = L + [(f₁ - f₀) / (2f₁ - f₀ - f₂)] × h Mode = 20 + [(15 - 8) / (2(15) - 8 - 9)] × 10 Mode = 20 + [7 / (30 - 17)] × 10 = 20 + (70 / 13) = 20 + 5.38 = 25.38। [2] माध्यक (Median) की गणना: - N = 40 => N/2 = 20। - संचयी बारंबारता (cf): 0-10 -> 5 10-20 -> 5 + 8 = 13 20-30 -> 13 + 15 = 28 (चूंकि 28 > 20, अतः माध्यक वर्ग = 20-30) 30-40 -> 28 + 9 = 37 40-50 -> 37 + 3 = 40 - L = 20, cf (पूर्व वर्ग की) = 13, f = 15, h = 10 - सूत्र: Median = L + [(N/2 - cf) / f] × h Median = 20 + [(20 - 13) / 15] × 10 = 20 + (70 / 15) = 20 + 4.67 = 24.67। 【उत्तर】: बहुलक = 25.38 तथा माध्यक = 24.67।